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几何学大师:欧几里得

时间:2012-03-24 责任编辑:中国历史故事网 点击:

  公元前337年,马其顿国王菲力二世用武力征服了希腊各城邦。次年亚历山大即位,在很短的时间内,他继承父业,开创了一个横跨欧、亚、非三大陆的马其顿王国。在地中海沿岸的尼罗河三角洲上,亚历山大建立了以他名字命名的城市———亚历山大城,并把它作为这个庞大帝国的文化、商业和工业中心,同时也是科学思想的中心。这儿有称誉世界拥有70万卷藏书的图书馆,还有博物馆、天文台和闻名天下的博学园,成为当时欧洲乃至世界数学的中心。欧几里得就是被亚历山大的后继者———托勒密一世重金聘请到博学园的教师。
  
  欧几里得本人始终是个难解的秘密。无人知道他的生死年月和诞生地,惟一可以确定的是他在托勒密一世(公元前305年至公元前285年)执政期间在亚历山大城工作过。根据一些间接的记载推测,欧几里得早年可能在雅典接受过教育,而且曾就学、工作于柏拉图学院,因此熟知希腊的数学知识。
  
  古籍中记述了两则故事说明了欧几里得的治学态度。一个故事说:有一天,托勒密国王问欧几里得,除了他的《几何原本》之外,有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答道:“几何无王者之道。”意思是在几何学里,没有专门为国王铺设的大路。这句话后来被引申为“求知无坦途”,成为千古传诵的箴言。另一个故事说:一个学生才开始学习第一个几何命题,就问学了几何之后将得到些什么。欧几里得说:“给他三个钱币让他走吧,因为他只想在学习中获取实利。”从古籍记载的这两则故事可知,欧几里得主张学习必须循序渐进、刻苦钻研,不赞成投机取巧、急功近利的作风。
  
  欧几里得是一个杰出的科学家,他标志着当时的科学中心从雅典过渡到了亚历山大城。欧几里得的名字与几何学是不可分割的,因为他写了一本几何教科书《几何原本》,此书至今还是几何学的权威着作,当然也经过一些修改。印刷术发明后,出过一千多版。“我学了欧几里得”就是“我学了几何学”的同义语,这句话并非很久以前说的。所以,欧几里得是最成功的不朽的几何教科书作者。然而欧几里得作为一位数学家的盛名,并非由于他本人的研究成果。在他书中,只有极少的定理是他自己创立的。他所做的一切,以及使他成为伟大的数学家的,就在于他利用了泰勒斯时代以来积累的数学知识,把两个半世纪的劳动成果条理化、系统化,并且编纂成了一本着作。在编写此书时,他一开始就推出一系列令人钦佩的简要而精致的公理和公式。然后他将定理一一排列,其逻辑性非常强,几乎无须改进。
  
  历来公认归功于欧几里得本人的惟一定理,就是他为毕达哥拉斯定理提出的证明。虽然他的这一伟大论着主要涉及几何学,但也提出了比率和比例的问题,以及现在为大家所知的数论问题,正是欧几里得证明了素数是无限的。他还通过一系列干脆利落至今尚未作过任何改进的论证,证明了2的平方根是无理数。他还通过将光视为直线,使光学成为几何学的一部分。当然欧几里得并没有概括希腊的全部数学,甚至也没有概括全部几何学。继他之后,希腊数学在相当长时期内,一直生气蓬勃,像阿波洛尼乌斯和阿基米德等人,都为数学增添了一大笔财富。
  
  后来的哥白尼、开普勒、伽利略、牛顿这些卓越的科学人物,统统都接受了欧几里得的传统。他们都认真地学习过欧几里得的《几何原本》,并使之成为他们数学知识的基础。欧几里得对牛顿的影响尤为明显。牛顿的《数学原理》一书,就是按照类似于《几何原本》的“几何学”的形式写成的。自那以后,许多西方的科学家都效仿欧几里得,说明他们的结论是如何从最初的几个假设推导出来的。许多数学家,像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海,以及一些哲学家,如斯宾诺莎也都如此。
  
  除《几何原本》外,欧几里得还有不少着作,如《已知数》、《图形的分割》、《纠错集》、《圆锥典线》、《曲面轨迹》、《观测天文学》等,可惜大都失传了。不过,经过两千多年的历史考验,影响最大的仍然是《几何原本》。
  
  托起地球的人阿基米德
  
  在古希腊叙拉古城,有一天,人们忽然看见大学者阿基米德竟然光着身子冲出浴室,边跑边嚷:“找到了!找到了!”他疯了吗?没有。他是在洗澡时在水盆里受到启发,发现了流体静力学的基本原理,从而找到了银匠在金王冠里掺银的秘密。他是为此而兴奋得忘乎所以了。
  
  事情是这样的。叙拉古国王艾希罗曾交给金匠一块黄金,让他做一顶王冠。王冠做成后,国王拿在手里觉得有点轻。他怀疑金匠掺了假,可是金匠以脑袋担保说没有,并当面拿秤来称,结果与原来的金块一样重。国王还是有些怀疑,可他又拿不出证据,于是把阿基米德叫来,要他来解决这个难题。回家后,阿基米德闭门谢客,冥思苦想,但百思不得其解。
  
  一天,他的夫人逼他洗澡。当他跳入池中时,水从池中溢了出来。阿基米德听到那哗哗哗的流水声,灵感一下子冒了出来。于是他从池中跳出来,连衣服都没穿,就冲到了街上。原来,阿基米德由澡盆溢水找到了解决王冠问题的办法:相同质量的相同物质泡在水里,溢出的水的体积应该相同。如果把王冠放到水里,溢出的水的体积应该与相同质量的金块的体积相同,否则王冠里肯定掺有假。
  
  阿基米德跑到王宫后立即找来一盆水,又找来同样重量的一块黄金,一块白银,分两次泡进盆里,白银溢出的水比黄金溢出的几乎要多一倍,然后他又把王冠和金块分别泡进水盆里,王冠溢出的水比金块多,显然王冠的质量不等于金块的质量,王冠里肯定掺了假。在铁的事实面前,金匠不得不低头承认,王冠里确实掺了白银。烦人的王冠之谜终于解开了。
  
  这次试验的意义远远大过查出王冠掺假的秘密。阿基米德从中发现了一条原理:即物体在液体中减轻的重量,等于他所排出液体的重量。这条原理后人以阿基米德的名字命名。一直到现代,人们还在利用这个原理测定船舶的载重量。
  
  公元前287年,阿基米德诞生于西西里岛的叙拉古(今意大利锡拉库萨)。他出生于贵族,与叙拉古的赫农王有亲戚关系,家庭十分富有。阿基米德的父亲是天文学家兼数学家,学识渊博,为人谦逊。他11岁时,借助与王室的关系,被送到古希腊文化中心亚历山大里亚城去学习。
  
  亚历山大位于尼罗河口,是当时文化贸易的中心之一。这里有雄伟的博物馆、图书馆,而且人才荟萃,被世人誉为“智慧之都”。阿基米德在这里学习和生活了许多年,曾跟很多学者密切交往。他在学习期间对数学、力学和天文学有浓厚的兴趣。在他学习天文学时,发明了用水力推动的星球仪,并用它模拟太阳、行星和月亮的运行及表演日食和月食现象。为解决用尼罗河水灌溉土地的难题,它发明了圆筒状的螺旋扬水器,后人称它为“阿基米德螺旋”。
  
  阿基米德在力学方面的成绩最为突出,他系统并严格地证明了杠杆定律,为静力学奠定了基础。在总结前人经验的基础上,阿基米德系统地研究了物体的重心和杠杆原理,提出了精确的确定物体重心的方法,指出在物体的中心处支起来,就能使物体保持平衡。阿基米德曾说过:“假如给我一个支点,我就能推动地球。”
  
  阿基米德确定了抛物线弓形、螺线、圆形的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的计算方法。在推演这些公式的过程中,他创立了“穷竭法”,即我们今天所说的逐步近似求极限的方法,因而被公认为微积分计算的鼻祖。他用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法,比较精确地求出了圆周率。面对古希腊繁冗的数字表示方式,阿基米德还首创了记大数的方法,突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限,并用它解决了许多数学难题。阿基米德被后来的数学家尊称为“数学之神”,在人类有史以来最重要的三位数学家中,阿基米德占首位,另两位是牛顿和高斯。
  
  阿基米德在天文学方面也有出色的成就。除了前面提到的星球仪,他还认为地球是圆球状的,并围绕着太阳旋转,这一观点比哥白尼的“日心地动说”要早1800年。限于当时的条件,他并没有就这个问题做深入系统的研究。但早在公元前三世纪就提出这样的见解,是很了不起的。
  
  在阿基米德晚年时,罗马军队入侵叙拉古,阿基米德指导同胞们制造了很多攻击和防御的作战武器。当侵略军首领马塞勒塞率众攻城时,他设计的投石机把敌人打得哭爹喊娘。他制造的铁爪式起重机,能将敌船提起并倒转。
  
  另一个难以置信的传说是,他曾率领叙拉古人民手持凹面镜,将阳光聚焦在罗马军队的木制战舰上,使它们焚烧起来。罗马士兵在这频频的打击中已经心惊胆战,草木皆兵。一见到有绳索或木头从城里扔出,他们就惊呼“阿基米德来了”,随之抱头鼠窜。
  
  罗马军队被阻入城外达三年之久。最终,于公元前212年,罗马人趁叙拉古城防务稍有松懈,大举进攻闯入了城市。此时,75岁的阿基米德正在潜心研究一道深奥的数学题。一个罗马士兵闯入,用脚践踏了他所画的图形,阿基米德愤怒地与之争论,残暴无知的士兵举刀一挥,一位璀璨的科学巨星就此陨落了。

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